Конкретики не смогу добавить, но 4 года назад был опыт ввоза в Черногорию кошки. Один раз документы на чг границе вообще не спросили, другой раз проверили паспорт на кошку (был оформлен в Черногории с указанием прививки от бешенства).

Думаю вряд ли что-то поменялось с тех времен. Тут ситуация примерно как с водительским удостоверением - важно чтобы была фотография и указаны основные данные владельца, а настоящие ли это права или нет никто не будет проверять (да и не сможет).

Самым важным моментом является прохождение российской границы, там правила для животных четко определены (в инете точно есть инфа). Если вас выпустят из России, то в Черногорию, уверен, пустят без вопросов.